Les ensembles

Une longue évolution a conduit à utiliser les ensembles comme briques de base pour exprimer une grande partie des mathématiques. On verra plus loin que les catégories ont remplacé les ensembles dans la seconde moitié du vingtième siècle.
Les ensembles sont très pratiques ; avec quelques notions très simples, on peut exprimer un grand nombre de choses en mathématiques.
D'après wikiversity.org,
Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.
Cette définition ne précise pas la nature des éléments, un ensemble peut contenir n'importe quoi (quoique, voir le paradoxe de Russel).
La définition précise "distincts". Un ensemble ne peut pas contenir de doublons.
La notion d'ordre est absente de la définition.

Voir aussi : Mémo ensembles.

Ensemble vide

On note  ∅  l'ensemble vide, qui ne contient aucun élément.

Eléments, Cardinal

Un ensemble peut contenir un nombre fini d'éléments ou une infinité. Ensembles A et B On utilise les accolades pour représenter un ensemble :
A = { 1, 2, 3, 4 } ; B = { 4, 5 }
L'ensemble vide peut donc s'écrire aussi : ∅ = { }

On appelle Cardinal le nombre d'éléments dans un ensemble.
On note card(E) le nombre d'élément d'un ensemble E.
card( A ) = 4 ; card( B ) = 2
On a : card( ∅ ) = 0

Appartenance

Un élément peut appartenir ou pas à un ensemble :
La relation d'appartenance entre un élément et un ensemble est notée  ∈ 
Ensemble, éléments, appartenance 
« a appartient à E » s'écrit :       a ∈ E
« b n'appartient pas à E » s'écrit : b ∉ E

Sous-ensemble, inclusion

Si tous les éléments de A appartiennent à B, on dit que A est un sous-ensemble, ou une partie de B.
A inclus dans B 
« A est inclus dans B » s'écrit :       A ⊂ B
                      ou encore :       B ⊃ A
Une notion très utile est l'ensemble de toutes les parties de A, notée 𝒫 (A)

Complémentaire

On se place dans l'ensemble U, «l'ensemble universel», qui contient tous les éléments possibles de l'univers qu'on étudie.

Union, intersection

Union de deux ensembles
L'union de deux ensembles est notée A ∪ B
Intersection de deux ensembles
L'intersection de deux ensembles est notée A ∩ B
Union de deux ensembles
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
A ∩ B = { 4 }

ET, OU logiques

Avec les notions très naturelles et intuitives d'union et d'intersection, on peut par exemple exprimer le ET et le OU logiques :
  • Le ET correspond à l'intersection. A ET B est noté A ⋀ B
    e ∈ A ∩ B ⇔ e ∈ A ⋀ e ∈ B
    Un élément e appartient à A inter B si, et seulement si, e appartient à A ET e appartient à B.
  • Le OU correspond à l'union. A OU B est noté A ⋁ B
    e ∈ A ∪ B ⇔ e ∈ A ⋁ e ∈ B
    Un élément e appartient à A union B si, et seulement si, e appartient à A OU e appartient à B.

Somme ou Union disjointe

Union disjointe de deux ensembles
L'union disjointe de deux ensembles est notée A ⊔ B
La somme, ou union disjointe de deux ensembles : ensemble qui contient tous les éléments de A et tous les éléments de B.
Contrairement à l'union "normale", si un élément appartient à A et à B, il est compté 2 fois.

On a la propriété :
card(A ⊔ B) = card(A) + card(B)

Produit

Produit cartésien de deux ensembles
Le produit de deux ensembles est noté A X B
On appelle Produit cartésien de deux ensembles A et B, un ensemble dont les éléments sont des paires formées d'un élément de A et d'un élément de B.
A X B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
On a la propriété :
card(A X B) = card(A) x card(B)

Autres notions

D'autres notions importantes existent, mais ne sont pas abordées dans cette introduction. On peut citer
  • La différence, la différence symétrique